Resumen del libro
El objetivo de este libro es proporcionar los conocimientos y el material necesarios a los alumnos del grado en CC. Matemáticas de la Universidad Nacional de Educación a Distancia para superar la asignatura de “Análisis de Fourier y ecuaciones en derivadas parciales”.
El estudio moderno de las ecuaciones diferenciales requiere el conocimiento de ciertos espacios funcionales, ya que este el contexto moderno donde se analizan las ecuaciones diferenciales y donde estas adquieren sentido más allá de la igualdad puntual que representan. Este marco funcional nos permite estudiar propiedades de las soluciones incluso cuando no es posible obtener su expresión explícita.
Con el objetivo de hacer este libro lo más autocontenido posible, se presentan en el Capítulo 10 los conceptos de análisis funcional necesarios para entender el resto de capítulos. El texto está enfocado a un aprendizaje autónomo del estudiante, presentando numerosos ejemplos y ejercicios resueltos. Se ha intentado utilizar un lenguaje preciso y claro que permita su comprensión sin dificultad.
Prerrequisitos. Los conocimientos necesarios para poder seguir el libro son los contenidos que aparecen en un curso de análisis de varias variables y un curso introductorio de ecuaciones diferenciales ordinarias. En el grado en C.C. Matemáticas de la U.N.E.D., dichos conocimientos se imparten en las asignaturas de “Funciones de varias variables I y II” e “Introducción a las ecuaciones diferenciales”.
Utilización del texto. Para una mejor comprensión del texto, se recomienda comenzar por el Capítulo 1. Dado el carácter independiente del Capítulo 2, una vez leído el capítulo 1, es posible continuar leyendo el Capítulo 2 o el 3. Una vez leído el Capítulo 3, se recomienda continuar con el resto de capítulos en el orden que aparecen, utilizando el Capítulo 10 para consultar los conceptos de análisis funcional que aparecen en la lectura del resto del libro.
Prologo
1 Preliminares
1.1 Introducción
1.2 Conceptos básicos
1.3 Clasificación de ecuaciones en derivadas parciales
1.4 Ejercicios
2 Ecuaciones de primer orden
2.1 Conceptos generales
2.2 Ecuaciones lineales
2.3 Ecuaciones semilineales y cuasilineales
2.4 Ecuaciones completamente no lineales
2.5 Teorema de Cauchy-Kowalevsky o Cauchy-Kowalevskaya
2.6 Ejercicios
3 Conceptos del análisis funcional
3.1 Prerrequisitos
3.2 Espacios topológicos, métricos, de Banach y de Hilbert
3.3 Integral de Lebesgue y espacios Lp
3.3.1 Espacios de medida. Medida exterior
3.3.2 Medida de Lebesgue en IRN
3.3.3 Función medible
3.3.4 Teorema de la convergencia monótona y de la convergencia dominada
3.3.5 Lema de Fatou
3.3.6 Teorema de Egorov
3.3.7 Definición de espacios Lp(?) y sus propiedades
3.4 Bases de un espacio de Hilbert
3.5 Aplicaciones lineales
3.6 Operadores compactos
3.7 Espacios de Sobolev W m,p(?), W m,p 0 (?)
3.7.1 Definición
3.7.2 Desigualdad de Poincaré
3.7.3 Desigualdad de Poincaré-Wirtinger
3.7.4 Desigualdad de Gagliardo-Nirenberg
3.7.5 Desigualdad de Jensen
3.7.6 Lema de Gronwall
3.7.7 Inclusiones de Sobolev. Teorema de Rellich-Kondrachov
3.7.8 Espacio Dual. Teorema de representación de Riesz. Convergencia débil
3.7.9 Lema de Aubin-Lions
3.8 Semicontinuidad
3.9 Distribuciones
4 Problemas de Sturm-Liouville
4.1 Introducción
4.2 Definición y propiedades
4.3 Formulación débil del problema de Sturm-Liouville
4.4 Forma normal del problema de Sturm-Liouville
4.5 Autovalores del problema de Sturm-Liouville
4.6 Ecuación de Legendre. Polinomios de Legendre
4.7 Ecuación de Bessel. Funciones de Bessel
4.8 Función de Green para el problema de Sturm-Liouville
4.9 Teorema de la alternativa de Fredholm aplicado a la ecuación de Sturm-Liouville
4.10 Ejercicios
5 Series de Fourier
5.1 Introducción
5.2 Definición y propiedades
5.3 Desigualdad de Bessel
5.4 Identidad de Parseval
5.5 Lema de Riemann-Lebesgue
5.6 Completitud del sistema de autofunciones del problema de Sturm-Liouville
5.7 Series trigonométricas
5.8 Fenómeno de Gibbs
5.9 Ejercicios
6 Clasificación de ecuaciones de segundo orden
6.1 Clasificación de ecuaciones de segundo orden
6.2 Ejercicios
7 Ecuaciones de tipo elíptico
7.1 Introducción
7.2 Formulación débil de problemas elípticos lineales
7.3 Unicidad de soluciones
7.4 Principio de superposición
7.5 Principio débil del máximo
7.6 Existencia de soluciones. Teorema de Lax-Milgram
7.7 Autovalores y autofunciones de problemas elípticos
7.8 Método de separación de variables
7.9 Funciones de Green
7.10 Principio fuerte del máximo
7.11 Existencia de soluciones. Método de Perron
8 Ecuaciones parabólicas
8.1 Modelización de la ecuación del calor
8.2 Método de separación de variables
8.3 Unicidad de soluciones
8.4 Principio de superposición para la ecuación del calor
8.5 Principio del máximo para ecuaciones parabólicas
8.6 Existencia de soluciones. Método de Galerkin
9 La ecuación de ondas
9.1 Modelización de la ecuación de ondas en dimensión 1
9.2 Fórmula de D’Alembert
9.3 Principio de superposición
9.4 Método de separación de variables
9.5 Existencia y unicidad de soluciones
10 Transformada de Fourier
10.1 Introducción
10.2 Definición y propiedades
10.3 Transformada de Fourier aplicada a la ecuación del calor
10.4 Transformada de Fourier aplicada a la ecuación de ondas
10.5 La transformada de Fourier N -dimensional
Apéndice I. Conceptos de análisis de varias variables
Apéndice II. Resultados de ecuaciones diferenciales ordinarias
Apéndice III. Regularidad de las soluciones de problemas elípticos
Bibliografía
Glosario